用Stirling逼近近似计算阶乘的探讨与应用

 

江苏省赣榆高级中学 仲晨

myheimu@yahoo.com.cn

【关键词】：Stirling逼近，阶乘，极限论，微积分，数学实验，计算机算法

 

“阶乘”（factorial）在信息学竞赛中具有重要角色，更广泛的说，“阶乘”在数学领域也是占有重要地位。在许多人刚刚学习计算机语言的时候，大多会被要求写一个算阶乘的程序，而在学习高精度算法的时候，也会写一个计算较大数字阶乘的程序。不过，在实际的运用之中，可能遇到更大数字的阶乘计算和不同要求的阶乘结果，例如：TOJ（同济大学ACM网络题库，http://acm.tongji.edu.cn/problem.php）的1016题——“求N！左边第二位的数字”，这就需要一定的精度思考了。

可是我们通常对于较大数字阶乘的要求是求结果位数或前几位数字，这怎么办呢？

在刘汝佳的《算法艺术与信息学竞赛》一书中，（Page241）介绍了Stirling公式：

其中的～符号是指“同阶”或“相当”，即两者随n增加的大致速度相同，在n较大时，两者极其相近。

这是一个极限的概念（现行教材高二下学期数学内容），属于微分学内容，准确写法为：

但遗憾的是在《算法艺术与信息学竞赛》书中只提供了这个算式，并无他物！

本人近日看到一本数学科普读物——《好玩的数学——不可思议的e》（陈任政著，科学出版社），其中5.12节简介了Stirling逼近近似算阶乘，本人感到好奇，于是对这种算法的具体步骤进行了分析，并研究了它的精确度，故为本文。在2005年8月7日完工之日，笔者上网搜索了一下，找到了一些关于Stirling逼近的文章，偶然地在臺灣亞洲聚合公司蔡永裕《談Stirling公式的改良》（刊自台湾《數學傳播》20卷4期，民国85年12月）一文中找到同感，蔡先生的做法于笔者方向不同，作出来的结果比笔者的算法精确一个数量级左右，惭愧，于是，笔者又再次研究，寻找更好算法，写于本文后部。

 

在1730年，棣莫弗(棣,音Dì)（法国数学家，Abraham De Moiver，1667～1754）发表的《分析杂论》中首先对n!地一个无穷级数展开式给出了近似公式：

但是，现在我们叫这个式子为“Stirling逼近”，中文叫做“斯特林逼近”，这是为什么呢？

因为棣莫弗的朋友苏格兰数学家斯特林(James Stirling,1696~1770)在同年的《微分法或无穷级数的简述》中也给出了等价的级数。

事实上，棣莫弗首先得到的式子是，
但是，他没有把C求出来。而斯特林则利用棣莫弗的发现做了探讨，求出了。

这些式子的来源是一个无穷级数展开式：

其中B2=1/6，B4=-1/30，B6=1/42 … B2k是雅格布·伯努力数。（具体内容请参见后文介绍）

 

这里介绍一下，还没上高中的同学还没有学到，“乘方”的逆运算有两种：开方和对数。

对于一个幂：，其中a成为底数，n成为指数，b成为幂。已知a和n求b，就是乘方运算；已知b和n，求a，就是开方运算；而已知a和b求n，就是对数运算，写做：，这里n就称为以a为底b的对数（logarithm）。

当底数为10的时候，叫做常用底数，简写做；当底数为e的时候，叫做自然对数，简写做。

至于e的含义：e是重要性仅次于π的数，是极限论的主要内容，具体的说，即：

意思是当n趋向于正的无限大的时候，趋向于e 。

e是无理数，即无限不循环小数，也是超越数，即不能满足某个整数系数代数方程的数（不能满足某个整数系数代数方程的数叫做代数数）。

目前e只算到了几千位。

e＝2.718281828459045235360287471352662497757247093...

特别说明的是，在Pascal语言中，exp(n)函数就是e的n次方。

 

另外，有个著名的公式被成为“整个数学中最卓越的公式”：

其中的i为虚数的单位，。来自算术的0、1，来自代数的i，来自几何的π，来自分析学的e，奇妙的组成了一个公式！

这是欧拉（瑞士数学家，Leonhard Euler，1707~1783）发现的！所以称作“欧拉公式”。

不过，真正的欧拉公式是：

那个“最卓越的公式”只是欧拉公式的一个推倒公式。

 

言归正传，由公式

两边同时取e的幂，得
即：

再经过近似等处理（这些处理比较麻烦，而且牵扯到微积分内容）,我们得到了Stirling公式：

注：在本文后部有Stirling公式的推倒过程。

当然，我们可以得到它得更具体形式：

其中的θ是不定的，在（0,1）区间之内。

 

讲到这里，我们有了公式，可以开始计算了。

但是，我们计算什么呢？难道我们要计算N！的值吗？

虽然这个式子比阶乘原始计算式简单，但是实际计算的时候仍然得到的将是上百上千位的数字，而且这个式子毕竟是近似公式，无法真正得到确切得数！

难道我们辛苦的到的式子无用了吗？

答案当然是否定的！我们可以求N！的位数！

 

求位数的方法是取常用对数（以10为底的对数）。那，这是为什么呢？看看下表：

n

n位数

1

0.000000

1

10

1.000000

2

100

2.000000

3

1000

3.000000

4

10000

4.000000

5

100000

5.000000

6

1000000

6.000000

7

10000000

7.000000

8

100000000

8.000000

9

好了！我们知道了n的位数等于，对吗？

不对！不一定是整数，比如，所以，我们得到的公式是：

n的位数＝

其中是取整符号，指不大于n的最大整数，在Pascal语言中为trunc(n)函数。

 

如果我们用Stirling逼近算出n！再算它的位数就太不值得了，这里我们就要运用对数的一些特性来简化公式。

我们两边取常用对数：

进而化简为:

现在我们可以来求值了！

以求1000！的位数为例，

所以1000！的位数为2568位！

我们可以看到，这里的计算复杂度很低，都是O(n) 级别的！对于其计算机编程运用来说，计算过程中数字不大不会溢出，取对数后的精确度也可以保证。

这样我们就解决了计算阶乘位数问题！而且可以绝对放心，这个公式在位数方面的准确率是99.9999999999999％以上。(而且这个仅有的可能性也只是从正态性来推测的)

 

用Pascal语言来书写：

 Trunc(0.5 * Ln(2 * n * 3.1415926) / Ln(10) + n * Ln(n / Exp(1)) / Ln(10)) + 1

建议使用分步计算，这样能避免计算过程中的溢出现象。

 

这样，笔者使用批处理计算了几个值：

n

n!位数

1

1

10

7

100

158

1000

2568

10000

35660

100000

456574

1000000

5565709

10000000

65657060

100000000

756570557

1000000000

8565705523

 

由于Longint范围的限制,无法计算再大的数值，但是可以通过使用int64或者extended来解决。

不过，我们有点不甘心，只计算位数难免用途不广，其实，我们可以用来计算n！的前几位！

什么原理呢？

例如计算1000！时，我们得到的数为2567.6046080272230971441871361093945……

而我们从下表中可以看出点东西来:

n

5

0.698970004336019……

50

1.698970004336019……

500

2.698970004336019……

5000

3.698970004336019……

我们可以得知：一个数增大10倍，它的常用对数整数部分将增加1，而小数部分不变。

我们得到的更重要的结果是：一个数的常用对数的小数部分所对应的幂的各位数字（不考虑小数点）与原数各位数字相同。

所以，对于1000！来说:
2567.6046080272230971441871361093945……的小数部分为
0.6046080272230971441871361093945……，
它的10为底的幂为4.0235372577197005393836315765635……，
也就是说1000！这个2568位数的前几位为40235372577197005393836315765635……。

Well！我们可以求出一个阶乘的前几位数了！

但是，不要高兴太早！这里的精度无法保证！

下面让我们来看看精确度方面：

特别说明的是，这里说的精确度是指n!与Stirling逼近公式的精确度，而不是位数计算的精确度，因为位数计算基本上是精确的！

n

逼近值

n！准确值

相对误差

10

3598695.619

3628800

0.008365359

20

2.42279E+18

2.4329E+18

0.004175011

30

2.64517E+32

2.65253E+32

0.002781536

40

8.14E+47

8.16E+47

0.002085461

50

3.04E+64

3.04E+64

0.001668034

60

8.31E+81

8.32E+81

0.001389841

70

1.20E+100

1.20E+100

0.001191177

80

7.15E+118

7.16E+118

0.001042204

90

1.48E+138

1.49E+138

0.000926351

100

9.32E+157

9.33E+157

0.000833678

110

1.59E+178

1.59E+178

0.000757861

120

6.68E+198

6.69E+198

0.000694684

130

6.46E+219

6.47E+219

0.000641230

140

1.35E+241

1.35E+241

0.000595414

150

5.71E+262

5.71E+262

0.000555709

160

4.71E+284

4.71E+284

0.000520968

170

7.25E+306

7.26E+306

0.000490316

 

 

可以看到，本身它的相对误差就很小，并且这个误差是在逐渐减小。

当n＝1000的时候，相对误差只有0.00008333680287333986657587……！

这个误差可以保证我们能够取得阶乘值的前3-4位准确值，但是，还是有点遗憾，感觉不是太好，我们最起码需要7-8位的精确度，可是，我们能做到吗？

可以！

还记得吗？我们曾得到了一个更精确的算式：

（其中的θ是不定的，在（0，1）区间之内。）

 

从这个式子里我们也可以看出准确值和逼近值之比就是

随着n的增大，显然这个值是随n逐渐缩小的！并且是缩得很小，这也符合我们上面表格所体现的内容。

可是，这里的θ是不固定的，要是固定的，我们就可以求出准确值。但是，有没有想看看θ的变化趋势呢？我们用上面算出的相对误差反算θ。

（计算公式为ln（相对误差＋1）×12×n＝θ）

n

θ

10

0.999667612

20

0.999916726

30

0.999962975

40

0.999979170

50

0.999986668

60

0.999990741

70

0.999993198

80

0.999994792

90

0.999995885

100

0.999996667

110

0.999997245

120

0.999997685

130

0.999998028

140

0.999998299

150

0.999998519

160

0.999998698

170

0.999998847

180

0.999998971

190

0.999999077

200

0.999999167

我们惊喜地发现θ竟然十分接近1，而且在逐渐地逼近1，这是个令人兴奋地消息！

实际上，即使是求1的阶乘，θ也会达到0.9727376027，这是一个本身就是一个很“精确”的数字了！当n＝1000时，θ将0.99999996665875876427498746773752，与1的差别只有0.000000033341241235725012532263（约等于3.33412×10-8）！

如果可以精确到这样，我们就太高兴了！

我们把θ用1带入，然后求值，这次得到的结果出奇的好！

下表是经过θ＝1带入修正的各项指标：

n

修正后逼近值

n！准确值

二者比例

10

3.62881005142693E+06

3.62880000000000E+06

0.999997230103867

20

2.43290285233215E+18

2.43290200817664E+18

0.999999653025394

30

2.65252887092925E+32

2.65252859812191E+32

0.999999897151981

40

8.15915318654567E+47

8.15915283247897E+47

0.999999956604970

50

3.04140938775049E+64

3.04140932017133E+64

0.999999977780315

60

8.32098721974147E+81

8.32098711274139E+81

0.999999987140939

70

1.19785717669724E+100

1.19785716699698E+100

0.999999991901990

80

7.15694574345356E+118

7.15694570462638E+118

0.999999994574895

90

1.48571597014272E+138

1.48571596448176E+138

0.999999996189743

100

9.33262157031762E+157

9.33262154439441E+157

0.999999997222301

110

1.58824554483731E+178

1.58824554152274E+178

0.999999997913062

120

6.68950292420235E+198

6.68950291344912E+198

0.999999998392522

130

6.46685549739670E+219

6.46685548922047E+219

0.999999998735671

140

1.34620124893450E+241

1.34620124757175E+241

0.999999998987707

150

5.71338396114816E+262

5.71338395644585E+262

0.999999999176966

160

4.71472363918940E+284

4.71472363599206E+284

0.999999999321839

170

7.25741561941125E+306

7.25741561530799E+306

0.999999999434611

180

2.00896062594820E+00

2.00896062499134E+00

0.999999999523704

190

9.68032267917558E+00

9.68032267525524E+00

0.999999999595020

可以看到，这里的差别已经很小了！

当n＝1000，二者比例达到了0.999999999997221，这足以保证10位的准确度！

到这里，我们就找到了一个精确度高并且速度快的算法来计算阶乘的前几位！

我们求阶乘前几位的最后公式为


frac(n)为取小数部分

顺便说一下，以上的数据都是用Free Pascal计算的，使用的是Extended格式，由此看来，Extended的精确度也是很高的！

用Pascal语言来书写：

10**frac(0.5*Ln(2*n*3.1415926) / Ln(10) + n * Ln(n / Exp(1)) / Ln(10))*exp(1/12/n)

有个技巧是：在FP中，可以使用a**b来计算ab ，可以不必再用exp(y*ln(x))。

 

笔者希望读者仔细思考，如何书写精度最高，速度最快（尽管速度已经是毫秒级了！）？还请注意数据溢出地情况。

还有，为了输出前几位，需要下点功夫处理一下输出问题。笔者在这里就简略了。

 

别急，我们的“征途”还没完，我们要继续精确化！

 

下面是来自http://mathworld.wolfram.com/StirlingsSeries.html的资料，介绍Stirling's Series，即“斯特林级数”，也就是Stirling逼近的原始式。比较抽象，读者浏览一下即可。

笔者英语不佳，勉强翻译了一下，便于大家阅读。

Stirling's Series

斯特林级数

The asymptotic series for the gamma function is given by

这个Γ函数的渐进级数如下（译者注：Γ为γ的大写，希腊字母，读做“伽马”）

The coefficient  of can given explicitly by

的系数可以明确地给出

where  is the number of permutations of n with k permutation cycles all of which are ≥3(Comtet 1974, p. 267). Another formula for the s is given by the recurrence relation

上面的是一个以k为循环的n的变量，它是始终≥3的(Comtet 1974, p. 267)。另外的一个计算的关系如下

with , then

当，则

where  is the double factorial (Borwein and Corless 1999).

这里的的意思是双阶乘(Borwein and Corless 1999).

（译者注：把阶乘的定义引申，定义N!! = N*(N-2)*(N-4)*...，若N为偶数，则乘至2，反之，则乘至1，而0!! = 0。我们称之为双阶乘(Double Factorial)）

The series for  is obtained by adding an additional factor of x,

级数是由x+1的Γ函数获得，

The expansion of  is what is usually called Stirling's series. It is given by the simple analytic expression

的展开式通常被叫做斯特林级数。它简单地分析表示为,

where  is a Bernoulli number. Interestingly, while the numerators in this expansion are the same as those of for the first several hundred terms, they differ at n=574, 1185, 1240, 1269, 1376, 1906, 1910, ... , with the corresponding ratios being 37, 103, 37, 59, 131, 37, 67, ...

这里地是伯努力数。有趣的是，当n每增加数百后，会出现重复，比如当n＝574, 1185, 1240, 1269, 1376, 1906 , 1910 , ... 时，对应的是37, 103, 37, 59, 131, 37, 67, ...

 

对于以上内容，单就本文所讨论的主题来说，没有太大用途，许多人在用Stirling公式计算大数阶乘的时候（注意，他们是直接计算阶乘近似值，而笔者是通过常用对数反算近似值），常常不使用“Stirling逼近”而直接使用“Stirling级数展开式”，这样主要是因为他们注意到了“Stirling逼近”简单式的误差过大，转而使用10－100项的“Stirling级数展开式”。在本文中，笔者使用“Stirling逼近”的“精确式”，采用修正的方法求近似值，已经取得了不亚于使用100项的“Stirling级数展开式”的精确度，并且避免了阶乘数值的溢出。

笔者在上文也说过，笔者看了台湾蔡永裕先生的《談Stirling公式的改良》一文，感觉非常有水平，笔者有时很有疑问，台湾地区的计算机学、数学等科学的发展水平还是比较高的！经常性的笔者搜索数学、计算机学的内容都会搜到许多台湾网站的内容，可能还有一个原因就是台湾地区的计算机普及率较高，资料上网率较高。

这里两个网址：

臺灣“中央研究院”數學研究所（数学研究所）http://www.math.sinica.edu.tw/

《數學傳播》杂志（《数学传播》）http://www.math.sinica.edu.tw/media/default.jsp

读者能看得顺 繁体字 更好，如果看不大习惯，就用一些软件来“转换”一下。

 

再次言归正传，蔡永裕先生的原理与笔者基本相同，都是对Stirling逼近公式进行修正，蔡先生文中联想到公式：

于是设e的渐近相等值E，将Stirling公式变为（笔者注：即≈）

反算得渐近于1，于是设

其中Fn为修正参数，则导出

然后反算得数据表格。继而欲求Fn的表达式，经过试验，选择了

得到了Stirling公式的修正版：

其常用对数形式为：

这样一来，精确度提高了很多，当计算1000！时，蔡先生的算法误差仅有-2.971E-13，而如果使用原始Stirling式的误差为-8.33299E-05，笔者之前的算法误差是1.118E-12，略逊于蔡式算法，于是笔者思考了一下，使用二次修正的方法来实现精确化。

方法如下：

对于公式：

因为θ接近于1，则令，f (n)为修正函数。则

为了寻找f (n)的式子，从简单的一次函数试起，我们先试一试f (n)/n，发现竟然是等差数列，在除以n后，得到的是一个常量！

n

θ

f(n)

f(n)/n

f(n)/n2

50

0.999986668189609

75008.56753

1500.171351

30.00342701

100

0.999996666761655

300008.5492

3000.085492

30.00085492

150

0.999998518536300

675008.1019

4500.054013

30.00036009

200

0.999999166673422

1200009.727

6000.048637

30.00024319

250

0.999999466670049

1875011.893

7500.047571

30.00019028

300

0.999999629630836

2700008.792

9000.029307

30.00009769

350

0.999999727877187

3674811.34

10499.46097

29.99845991

400

0.999999791661586

4799882.935

11999.70734

29.99926834

450

0.999999835405298

6075529.694

13501.1771

30.00261577

500

0.999999866704792

7502145.139

15004.29028

30.00858056

550

0.999999889796665

9074135.523

16498.42822

29.99714222

600

0.999999907419129

10801367.44

18002.27906

30.00379843

650

0.999999921104972

12675069.96

19500.10763

30.00016558

700

0.999999931990204

14703764.09

21005.37728

30.00768183

750

0.999999940767808

16882711.46

22510.28195

30.01370927

800

0.999999947926410

19203592.46

24004.49057

30.00561321

850

0.999999953865914

21675947.14

25501.11429

30.00131093

900

0.999999958850112

24301402.95

27001.55883

30.00173203

950

0.999999963096340

27097582.94

28523.77151

30.02502264

1000

0.999999966659766

29993790.67

29993.79067

29.99379067

 

显然，它们都与30相近；而且，我们完全可以认为，这里的误差是由计算误差引起的！

 

于是，我们得到f (n)＝30n2关系式。

继而，有

“前几位”公式：

这样一来

n

二次修正版逼近值
科学计数法系数

n！准确值
科学计数法系数

相对误差

50

3.04140932016361

3.04140932017133

-2.5383029012E-12

100

9.33262154439367

9.33262154439441

-7.9380946261E-14

150

5.71338395644579

5.71338395644585

-1.0547118734E-14

200

7.88657867364788

7.88657867364790

-2.5535129566E-15

看！仅仅n＝200的时候，误差就小于!

不过，由于毕竟f (n)＝30n2是有误差的，所以误差不会一直减少，而会波动，正如上面的求f(n)/n2的表格，它的值是波动的。

这是因为：我们不可能用固定的多项式来表示出对数型变化！

但我们把误差降到了最小，当n＝1000时，
逼近值4.0238726007709361277668E+2568与准确值4.0238726007709377354370E+2568的误差仅有-3.9953306821471308041868495761274E-16

事实上，在高等数学里，根据Taylor展式可以算得：

看似我们属于“碰对了”，其实这就是“数学实验”的魅力！

 

到此为止，我们可以说获得了成功！！！

 

在编程方面，注意点很多，主要还是溢出的问题，比如1/（360*n*n*n）对于较大的可能溢出，而写成1/360/n/n/n就可以避免。

exp(frac(0.5*Ln(2*n*3.14159265358979323)/Ln(10)+n*Ln(n/Exp(1))/Ln(10))*ln(10))*exp(1/12/n-1/360/n/n)

 

以上内容是笔者看书时偶尔思考到的，并认真得进行了思考和实验，具体地试验比较，这种做法叫做“数学实验”。

《数学实验》是在我国高等学校中新开设的一门课程。现在还处于试点和摸索阶段，有许多不同的想法和作法。课程目的,是使学生掌握数学实验的基本思想和方法，即不把数学看成先验的逻辑体系，而是把它视为一门“实验科学”，从问题出发，借助计算机，通过学生亲自设计和动手，体验解决问题的过程，从实验中去学习、探索和发现数学规律。既然是实验课而不是理论课，最重要的就是要让学生自己动手，自己借助于计算机去“折腾”数学，在“折腾”的过程中去学习，去观察，去探索，去发现，而不是由老师教他们多少内容。既不是由老师教理论，主要的也不是由老师去教计算机技术或教算法。不着意追求内容的系统性、完整性。而着眼于激发学生自己动手和探索的兴趣。

数学实验可以包括两部分主要内容：第一部分是基础部分，围绕高等数学的基本内容，让学生充分利用计算机及软件（比较有名的是Mathematica）的数值功能和图形功能展示基本概念与结论，去体验如何发现、总结和应用数学规律。另一部分是高级部分，以高等数学为中心向边缘学科发散，可涉及到微分几何，数值方法，数理统计，图论与组合，微分方程，运筹与优化等，也可涉及到现代新兴的学科和方向，如分形、混沌等。这部分的内容可以是新的，但不必强调完整性，教师介绍一点主要的思想，提出问题和任务，让学生尝试通过自己动手和观察实验结果去发现和总结其中的规律。即使总结不出来也没有关系，留待将来再学，有兴趣的可以自己去找参考书寻找答案。

笔者写本文，一来总结自己所想，二来抛砖引玉，希望大家能在数学中寻找灵感，并优化使之适用于计算机编程，这才是算法艺术！

 

共11641字

写于：2005年8月6日～8日

江苏·赣榆

 

参考文献：

1.         《好玩的数学——不可思议的e》（陈任政著，科学出版社，2005）；

2.         《談Stirling公式的改良》（蔡永裕，臺灣亞洲聚合公司，刊自台湾《數學傳播》20卷4期，民国85年12月－公元1996年12月）；
pdf文件下载：
http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/pdf.php?m_file=ZDIwNC8yMDQwNA==

3.         《談Stirling公式》(蔡聰明,載於數學傳播第十七卷第二期,作者當時任教於台大數學系)；
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_17_2_05/

4.         清华大学在线学习－－《组合数学》之（1.3节Stirling近似公式）；
http://www.cs.cityu.edu.hk/~luoyan/mirror/tsinghua/combinemaths/1/1_3.htm

5.         Stirling级数http://mathworld.wolfram.com/StirlingsSeries.html